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Biblioteca de la Universidad Complutense de Madrid

Jueves, 22 de agosto de 2019

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La teoría del caos, según James Alan Yorke, uno de sus creadores

El salón de actos de la Facultad de Matemáticas recibió al físico James Alan Yorke el pasado 21 de mayo. Su charla, en la que habló sobre las múltiples facetas de la teoría del caos, se enmarcó dentro del ciclo de conferencias Hablemos de Física.

¿Qué tienen que ver un péndulo con la meteorología, las órbitas de Mercurio, un atasco de tráfico o los átomos de un leopardo? James Alan Yorke lo tiene claro, todos están regidos, de una manera u otra, por el caos.
El físico comenzó su conferencia asegurando que "uno de los aspectos del caos es que todo el mundo sabe sobre el caos. De hecho, quizás no sabemos que sabemos sobre el caos, pero vivimos en él. El caos que vemos en las matemáticas es el caos que vemos en nuestras vidas". Tras eso, y como suele hacer en muchas de sus conferencias, proyectó la fotografía de un eclipse solar, tomada por él mismo. A partir de esa imagen se preguntó ¿cómo podemos predecir eclipses? y ¿cómo podemos hablar de cuándo se produjeron los eclipses en la antigua China? Recordó Yorke que Newton describió cómo funciona el Sistema Solar y "todavía hoy es uno de los más simples y claros ejemplos que funcionan con una alta precisión". Es evidente que el científico inglés no incluyó la relatividad, "pero sin eso fue capaz de explicar por qué ocurren los eclipses y los ciclos que hacen que no sea algo caótico, porque el hecho de que se puedan predecir quiere decir que no son muy caóticos".


Los ciegos y el elefante
Según Yorke, si eliges un modelo al azar, como el de los planetas, se pueden ver tres tipos de movimientos: periódicos, que son simples como un péndulo, por ejemplo; los casi periódicos, como el de algunos planetas tal que Mercurio que tienen un cierto caos en su órbita; y los caóticos.
Para explicar estos tres movimientos, el físico mostró un dibujo asiático que refleja la parábola de los ciegos y el elefante. En esa historia, un ciego se cruza con un elefante y le toca una oreja y piensa que es un abanico. Otro ciego llega y le toca un colmillo y piensa que es una lanza. Un tercero le agarra de la cola y piensa que es una cuerda. Todos se encuentran con diferentes aspectos del animal, y lo que quiere decir la parábola budista, de acuerdo con Yorke "es que hay muchos aspectos de la realidad y que si sólo entiendes uno eres como los ciegos. El caos es como ese elefante, porque hay muchas maneras de encontrarse con el caos".


Exponente de Lyapunov
Entre esas maneras se encuentra "la divergencia exponencial de trayectorias, conocida también como exponente positivo de Lyapunov o doblar el tiempo porque se dobla la distancia entre los modelos después de cada ciclo".
Esta divergencia se muestra, por ejemplo, en el clima. Es así, porque "cuando hablamos de la predicción meteorológica hay aspectos desconocidos en las condiciones iniciales y dependiendo del modelo, en unos dos o tres días las incertidumbres en el estado actual se doblarán, y cada dos o tres días se volverán a doblar".
Otro modelo simple similar se puede expresar con la fórmula matemática F(x) = 4x(1-x). Yorke puso un ejemplo en el que la x representa la densidad de insectos en el patio de su casa. "Cada pocos días, los insectos aumentan en número hasta que se lo comen todo y entonces la población colapsa". Según el físico, "esto es parte del teorema que implica que si empiezas con algo pequeño, digamos 0,1, en el segundo ciclo es dos veces más grande, y en el tercero también". Pero sin embargo "si empezamos en el medio y pasan otros tres ciclos volveremos a estar en 0,1, así que cuando se empieza en 0,1 después de tres veces vuelves a estar en el mismo lugar, lo que quiere decir que en algún momento en el medio tiene que darse la vuelta y volver al principio".


Caos de Li-Yorke
El ejemplo anterior ilustra, de acuerdo con Yorke, "una gran complejidad de este sistema que llamamos órbita de periodo 3, porque tras tres aplicaciones de F vuelves a donde comenzaste". Considera el físico que "si existe una órbita de periodo 3 entonces hay muchas órbitas periódicas con un número infinito de periodos, dependiendo de dónde empezamos, y también hay un conjunto revuelto. Esto quiere decir que si elegimos dos modelos que empiecen en lugares al azar diferentes y aplicamos el ciclo completo, una y otra vez los puntos de los modelos se acercarán ocasionalmente y luego se separarán de nuevo, y así sucesivamente". Se puede entender pensando que es como los átomos de unos huevos cuando se preparan revueltos, que se acercan y se separan mientras se están haciendo.
A esta propiedad de separarse y juntarse se le conoce como el "caos de Li-Yorke", en referencia a los dos coautores del término matemático de caos, el propio Yorke y Tien-Yien Li.


Mundo impredecible
El físico hizo en directo un sencillo experimento con un péndulo doble, que es uno de los sistemas caóticos más simples que existen. Su trayectoria es irregular y si además se coloca al péndulo en una posición inicial diferente se obtiene una trayectoria completamente distinta al cabo de un tiempo.
El experimento, o juego, en el que participaron los asistentes a la conferencia, no era más que una metáfora sobre lo impredecible de ese movimiento. Porque según Yorke el caos es impredecible y por tanto el mundo también lo es. De acuerdo con el físico, "el caos explica por qué cambios muy pequeños en tu vida hacen que suspendas un curso o dejes la escuela o pierdas tu trabajo o incluso puedas morir por no leer un cartel". La charla de Yorke ratificó que "el caos cubre todo en nuestras vidas".

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