Tener una madurez matemática suficiente en el manejo de nociones delicadas y de resultados de cierta envergadura.

Uso de las variedades en otras áreas de la Matemática o la Física.

Conocer los conceptos mencionados en los objetivos, y su uso y cálculo con agilidad en los casos geométricos más habituales: hipersuperficies y superficies.

Aviso para navegantes: el objetivo del estudiante no es aprender a hacer problemitas y ejercicios, sino aprender conceptos nuevos y su comportamiento, es decir asimilar rigurosamente un cuerpo teórico con sus definiciones, teoremas y demostraciones.

En ellas se explicará la materia teórica con el mayor número de ejemplos posible.

Se dedicarán a resolver problemas propuestos con mucha antelación para que los alumnos puedan prepararlos previamente.

Realización por parte de los alumnos de problemas o temas complementarios a la materia de la asignatura.

2,4

7

Algebra lineal, nociones básicas de topología y cálculo diferencial e integral en espacios afines.

Conocer las nociones básicas del cálculo diferencial sobre variedades, hasta obtener el teorema de Stokes: campos y flujos, formas diferenciales, orientación e integración.

1.-   Variedades diferenciables. Definición de variedad. Construcción de variedades. Particiones diferenciables de la unidad. Variedades con borde.
2.-   Cálculo en variedades. Espacio tangente. Derivada de aplicaciones entre variedades. Derivaciones.
3.-   Campos y ecuaciones diferenciales. Campos y flujos. Integración de campos.
4.-   Formas diferenciales. Aplicaciones multilineales alternadas. Determinantes. Formas en variedades. Diferencial exterior.
5.-   Integración en variedades. Orientación de variedades. Orientación de hipersuperficies. Aplicación de Gauss y curvatura. Integral de una forma diferencial. Teorema de Stokes.

Examen final hasta 80%, entrega de problemas u otras actividades evaluables hasta 50%.
En caso de ser necesario la docencia y la evaluación se adaptarán a lo que la situación sanitaria requiera.

J.M. Gamboa, J.M. Ruiz: Introducción al estudio de las variedades diferenciables. Sanz y Torres, Madrid 2020.
M. Schreiber. Differential Forms: a Heuristic Introduction, Springer, N.Y., 1977.