Matemáticas - Física (ofrece un grupo en inglés) Plan 2019
Grado y Doble Grado. Curso 2023/2024.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES - 900476
Curso Académico 2023-24
Datos Generales
- Plan de estudios: DT28 - DOBLE GRADO EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA (2019) (2019-20)
- Carácter: Obligatoria
- ECTS: 7.5
SINOPSIS
COMPETENCIAS
Generales
- Distinguir los problemas de los ejercicios.
- Aprender a respetar las reglas del rigor matemático tanto en el estudio de los aspectos teóricos, como en la formalización de las respuestas a ejercicios y problemas planteados.
- Desarrollar la capacidad de autocrítica, reconociendo aquellos aspectos que necesitan mayor nivel de comprensión para avanzar en el propio proceso de aprendizaje
Específicas
- Destreza en el cálculo de curvaturas.
- Entender por qué las curvaturas determinan un sistema completo de invariantes para la clasificación de curvas por congruencia.
- Comprender el concepto de superficie y relacionar las distintas definiciones equivalentes.
- Apreciar la diferencia entre superficie parametrizada y superficie.
- Saber usar coordenadas locales para resolver problemas geométricos.
- Distinguir entre lo que depende y lo que no depende del sistema de coordenadas utilizado.
- Distinguir entre geometría local y global.
- Distinguir las propiedades intrínsecas de las que no lo son, y apreciar el significado del teorema egregio de Gauss.
- Destreza en el cálculo de formas fundamentales, curvaturas etc.
ACTIVIDADES DOCENTES
Clases teóricas
Clases prácticas
Presenciales
No presenciales
Semestre
Breve descriptor:
Requisitos
- Geometría y álgebra lineal.
- Topología general
Objetivos
- Resolver el problema de clasificación geométrica de curvas por movimientos, usando el método de la referencia móvil de Frenet.
- Estudio geométrico local de las superficies en espacio euclideo tridimensional.
- Destacar el concepto de propiedad geométrica intrínseca.
Contenido
1. Teoría local de curvas en el plano y el espacio euclídeo. Curvas
planas. Definiciones básicas. Curvas regulares. Cambio de parámetro.
Parametrización por longitud de arco. Diedro de Frenet: Curvatura. Curvas
congruentes.Teorema fundamental de congruencia. Centro de curvatura Evolutas
evolventes. Curvas en el espacio. Triedro de Frenet. Fórmulas de Frenet:
Curvatura y Torsión. Teorema fundamental de congruencia.
2. Teoría local de superficies.Superficies regulares.
Representación local paramétrica e implícita. Cambios de coordenadas. El plano
tangente en un punto.Primera forma fundamental. Cálculo integral en recintos
pequeños. funciones diferenciables entre superficies. Diferencial de una
función. Curvatura normal: Teorema de Meusnier. Segunda forma fundamental.
Aplicación de Gauss-Weingarten. Curvaturas ydirecciones principales. Lineas de
curvatura. Curvatura de Gauss. Indicatriz de Dupin. Direcciones asintóticas.
Lineas asintóticas.Curvatura geodésica. Definición extrínseca de geodésica.
3. Geometría intrínseca local de superficies.Isometrías.
Superficies homeomorfas, difeomorfas, isométricas y congruentes. Carácter
intrínseco. Símbolos de Christoffel. Ecuaciones diferenciales de las
geodésicas: Carácter intrínseco.Teorema Egregium de Gauss. Ecuaciones de
compatibilidad .Derivación intrínseca de campos tangentes a la superficie a lo
largo de curvas. Derivación general intrínseca. Transporte paralelo.Carácter
intrínseco de la curvatura geodésica. . Sistemas especiales de coordenadas. .
4. Geometría global de superficies.
Enunciado del Teorema fundamental (existencia y unicidad) de superficies. Teorema de Gauss para triángulos geodésicos pequeños. Teorema de Gauss-Bonnet.
Evaluación
La calificación de la evaluación continua constituirá entre el 10% y el 20% de la nota final a criterio del profesor, dependiendo de si se realizan pruebas escritas y/o entrega de trabajos.
Bibliografía
J.M. Rodriguez Sanjurjo, J.M. Ruiz Sancho. Introducción a la Geometría diferencial I. Curvas Ed. Sanz y Torres (2012)
Ángel Miguel Amores. Curso Básico de Curvas y Superficies. Ed. Sanz y Torres (2001)
Enrique Outerelo y José M. Sánchez Abril. Geometría Diferencial Elemental de Curvas y Superficies. Ed. Sanz y Torres (2009)
Noel J. Hicks. Notes on Differential Geometry. van Nostrand & Reinold (1965)
Erwin Kreyszig. Differential Geometry. Dover Publications Inc. (2003)
Sebastian Montiel, Antonio Ros. Curvas y superficies. Proyecto Sur de Ediciones (1997)
Otra información relevante
Estructura
Módulos | Materias |
---|---|
No existen datos de módulos o materias para esta asignatura. |
Grupos
Clases teóricas | ||||
---|---|---|---|---|
Grupo | Periodos | Horarios | Aula | Profesor |
Grupo t2 [MT] | 04/09/2023 - 15/12/2023 | LUNES 17:00 - 18:00 | B16 | MARIA PE PEREIRA |
MIÉRCOLES 17:00 - 18:00 | B16 | MARIA PE PEREIRA | ||
VIERNES 17:00 - 18:00 | B16 | MARIA PE PEREIRA | ||
Grupo único | 22/01/2024 - 10/05/2024 | MARTES 10:00 - 11:00 | B06 | ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN MARINA LUCIA LOGARES JIMENEZ |
JUEVES 10:00 - 11:00 | B06 | ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN MARINA LUCIA LOGARES JIMENEZ | ||
VIERNES 10:00 - 11:00 | B06 | ENRIQUE ARRONDO ESTEBAN MARINA LUCIA LOGARES JIMENEZ |
Clases prácticas | ||||
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Grupo | Periodos | Horarios | Aula | Profesor |
Grupo t2 [MT] | 04/09/2023 - 15/12/2023 | MARTES 17:00 - 18:00 | B16 | MARIA PE PEREIRA |
JUEVES 17:00 - 18:00 | B16 | MARIA PE PEREIRA | ||
Grupo único | 22/01/2024 - 10/05/2024 | JUEVES 09:00 - 10:00 | B06 | JOSÉ LUIS LÓPEZ NÚÑEZ |
VIERNES 09:00 - 10:00 | B06 | JOSÉ LUIS LÓPEZ NÚÑEZ |