Matemáticas Avanzadas
Máster. Curso 2023/2024.
ANÁLISIS NO LINEAL. TEORÍA DEL GRADO. BIFURCACIÓN - 606166
Curso Académico 2023-24
Datos Generales
- Plan de estudios: 061L - MÁSTER UNIVERSITARIO EN MATEMÁTICAS AVANZADAS (2012-13)
- Carácter: OPTATIVA
- ECTS: 5.0
SINOPSIS
COMPETENCIAS
Específicas
Dominar el uso del grado de Brouwer y manejar el de Leray-Schauder.
Dominar el uso del grado para obtener resultados de bifurcación global.
Dominar el uso del grado para obtener resultados de bifurcación global.
ACTIVIDADES DOCENTES
Clases teóricas
40 clases teóricas en total
Clases prácticas
10 clases prácticas que se utilizan para algunas de las exposiciones orales de los alumnos o para problemas.
Exposiciones
Cada alumno debe efectuar algunas exposiciones de carácter teórico o práctico en la pizarra.
TOTAL
50 horas lectivas
Presenciales
5
Semestre
2
Breve descriptor:
Grado de Brouwer. Grado de Leray-Schauder. Aplicaciones topológicas. Teoría local de bifurcación. Autovalores no lineales. Teoría global de bifurcación. Cómputo del grado topológico.
Requisitos
Haber cursado alguna licenciatura de Matemáticas
Objetivos
El objetivo principal es la construcción del grado topológico de Brouwer-Leray-Schauder y la demostración de sus propiedades fundamentales, como la invariancia por homotopía generalizada, que permiten utilizarlo posteriormente para estudiar la estructura de las componentes acotadas del conjunto de soluciones de las ecuaciones no lineales de punto fijo relativas a operadores compactos y para caracterizar los autovalores no lineales en problemas de bifurcación por medio de la multiplicidad algebraica generalizada de autovalores. El grado topológico es una de las herramientas matemáticas más importantes que ha alumbrado el Análisis no Lineal el siglo pasado. Sus aplicaciones son extraordinariamente variadas, cubriendo no sólo amplias parcelas de las propias ciencias matemáticas, como la Teoría de juegos, la Topología, el Álgebra, el Análisis, en general, y la Ecuaciones en Derivadas Parciales no lineales, en particular, sino otras disciplinas científicas como la economía, la ecología, la física, la química, la bioquímica, y la propia ingeniería.
Contenido
PARTE I: GRADO TOPOLÓGICO 1.- Preliminares de topología diferencial. Teorema de Sard. 2.- Construcción del grado topológico de Brouwer: Versión diferenciable. Idea de la construcción con técnicas de topología algebraica. 3.- Propiedades fundamentales del grado. Consecuencias: algunos teoremas topológicos clásicos. 4.-Teorema de unicidad de Amann y Weiss. 5.- Campos vectoriales. Característica de Euler. Teorema de Poincaré-Hopf. 6.- Grado de Leray-Schauder: Construcción y propiedades básicas. PARTE II:APLICACIONES: BIFURCACIÓN Y DINÁMICA. 7.- Teoría global de bifurcación. Comportamiento global de componentes semi-acotadas de ecuaciones de punto fijo para operadores compactos. Alternativa global de P. H. Rabinowitz. 8.- Índice de punto fijo. Aplicaciones del índice a problemas clásicos de dinámica de superficies. Teorema de Le Calvez-Yoccoz.
Evaluación
Asistencia a las clases y nivel de conocimientos mostrados en las exposiciones orales. Se evaluará atendiendo a las exposiciones y a los problemas resueltos por los alumnos.
Bibliografía
R. Brown, A topological introduction to nonlinear analysis, Birhäuser, Boston (1993).
K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1985).
J. Jezierski, W. Marzantowicz, Homotopy methods in topological fixed and periodic points theory, Netherlands (2006).
J. López-Gómez, Spectral Theory and Nonlinear Functional Analysis, Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics 426, Boca Raton 2001.
J.W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. University Press of Virginia, 1965.
E. Outerelo, J. Ruiz, Mapping degree theory, Graduate Studies in Math. Vol, 108. AMS-RSME (2009).
K. Deimling, Nonlinear functional analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1985).
J. Jezierski, W. Marzantowicz, Homotopy methods in topological fixed and periodic points theory, Netherlands (2006).
J. López-Gómez, Spectral Theory and Nonlinear Functional Analysis, Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics 426, Boca Raton 2001.
J.W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. University Press of Virginia, 1965.
E. Outerelo, J. Ruiz, Mapping degree theory, Graduate Studies in Math. Vol, 108. AMS-RSME (2009).
Otra información relevante
Salvo imperativo, es obligatoria la asistencia a clase.
Estructura
Módulos | Materias |
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No existen datos de módulos o materias para esta asignatura. |
Grupos
Clases teóricas y/o prácticas | ||||
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Grupo | Periodos | Horarios | Aula | Profesor |
Grupo único | 22/01/2024 - 05/04/2024 | LUNES 12:00 - 13:00 | - | FRANCISCO ROMERO RUIZ DEL PORTAL |
MARTES 11:00 - 13:00 | - | FRANCISCO ROMERO RUIZ DEL PORTAL | ||
JUEVES 11:00 - 13:00 | - | FRANCISCO ROMERO RUIZ DEL PORTAL |