Matemáticas

Grado y Doble Grado. Curso 2024/2025.

ANÁLISIS REAL - 800610

Curso Académico 2024-25

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
-CG1; Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
CG2; Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática. CG3 ‐ Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos. CG4 ‐ Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos)
distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
Transversales
CT1: Haber demostrado poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas, partiendo de la base de la educación secundaria general, y alcanzando un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de dicha área.
CT2: Saber aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
CT3; Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. CT4 ‐ Poder transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado. CT5 ‐ Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
Específicas
CE1 Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
CE2 Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE3 Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
CE4 Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.
CE5 Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.
CE6 Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado. Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.
CE7 Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.



ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Dos sesiones de clase teórica a la semana donde se desarrolla la materia del curso con ejemplos y aplicaciones
Clases prácticas
Sesiones de resolución de ejercicios propuestos en las hojas de problemas.
Otras actividades
Tutorías. Exposición de ejercicios y problemas resueltos por los alumnos.

Presenciales

6

Semestre

8

Breve descriptor:

Se desarrolla un curso de Analisis Real avanzado.  Incluye varios topicos clasicos: Espacios de Lebesgue y  Teoría de acotación de operadores. Dualidad de los espacios de Lebesgue.    Funciones maximales y Teorema de Diferenciación.  Operadores integrales: Operadores de convolución, aproximaciones de la identidas y Transformada de Fourier.   Espacios Tests e Introduccion a la  teoria de distribuciones. Espacios de Hilbert   Teoria espectral de operadores compactos y simetricos en espacios de Hilbert. 

Requisitos

Conocimiento previo de la integral de Lebesgue: funciones medibles, conjunto de medida cero, integrabilidad de Lebesgue, teoremas de convergencia (monótona y dominada), Teorema de Fubini y teorema del cambio de variable.

Objetivos

- Recordar los conceptos y técnicas básicas de la integración de Lebesgue. 

- Estudiar los espacios funcionales L^{p} y su dualidad, así como los operadores integrales clásicos, como los operadores de convolución y la transformada de Fourier. 

 -Estudiar los fundamentos de la teoria de los espacios de Hilbert. 

- Presentar la teoría espectral de operadores compactos en espacios de Hilbert.. 

- Dar  una introducción a la teoría de las distribuciones.

Contenido

-  Introducción al curso: Problema de Sturn-Liouville y ecuaciones integrales

-  Repaso de la integración de Lebesgue.

-  Espacios de Banach clásicos: Espacios de funciones continuas sobre un compacto C(K). Espacios de Hilbert L^2(R^n). Espacios de Lebesgue L^p(R^n). 

-  Resultados básicos de la teoría de operadores lineales.   Dualidad de Espacios de Banach. Norma de un operador. 

-  Operadores integrales: Operadores de Convolución (Aproximaciones de la identidad y Teorema de Diferenciación de Lebesgue )  y Transformada de Fourier.

-  Espacios tests. Introducción a la teoría de distribuciones.  

-  Espacios de Hilbert. Sistemas ortonormales y bases. Aplicaciones a la series de Fourier. 

- Teoría espectral de operadores compactos  en espacios de Banach y de Hilbert.




 

Evaluación

Se hará un examen final. La nota del examen representará el 80% de la calificación. El resto se obtendrá por la entrega de prácticas realizadas en clases.
En caso de no aprobar la asignatura, tras la realización del examen final, el examen extraordinario contará el 100% de la nota final del curso.

Bibliografía

- CERDÀ, Linear functional Analysis
- COHN: Measure theory. Birkhauser 1992
- FOLLAND: Real Analysis. Second edition , Wiley Interscience 1999
.- BREZIS: Análisis Funcional. Alianza Editorial, 1986.
.- LIEB y LOSS: Analysis, second edition. AMS, 2001
- RUDIN : Real and complex analysis. Tercera edición, McGraw-Hill 1988.

Estructura

MódulosMaterias
CONTENIDOS AVANZADOS EN MATEMÁTICAS PURA Y APLICADA IIANÁLISIS REAL

Grupos

Clases teóricas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único20/01/2025 - 09/05/2025LUNES 11:00 - 12:00113MARIA JESUS CARRO ROSSELL
MARTES 10:00 - 11:00113MARIA JESUS CARRO ROSSELL


Clases prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo único20/01/2025 - 09/05/2025LUNES 12:00 - 13:00113MARIA JESUS CARRO ROSSELL
JUEVES 12:00 - 13:00113MARIA JESUS CARRO ROSSELL